Kresba parket ze stejných obdélníků
PARKETY Parketa je vyplnění roviny polygony, ve kterých libovolné dva polygony mají buď společnou stranu, nebo mají společný vrchol, nebo nemají společné body.
Parketa se nazývá pravidelná, pokud se skládá z pravidelných mnohoúhelníků a kolem každého vrcholu jsou pravidelné mnohoúhelníky uspořádány stejným způsobem.
Příklady běžných parket jsou uvedeny vyplněním roviny: a) čtverci (obr. 1); b) rovnostranné trojúhelníky (obr. 2); c) pravidelné šestiúhelníky (obr. 3). Dokažme, že není možné vyplnit rovinu jinými stejnými pravidelnými polygony. Ve skutečnosti jsou úhly správné n – čtverce se rovnají 180 ° (n — 2)/n . Vyplňme tabulku skládající se z úhlů regulární n -gons.
| N | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| a | 60 ° | 90 ° | 108 ° | 120 ° | 128 4 /7 ° | 135 ° | 140 ° | 144 ° | 147 3 /11 ° | 150 ° |
Pokud se v jednom vrcholu parkety sbíhají m opravit n – úhly, pak musí být splněna rovnost:
Možné platné hodnoty n jsou 3, 4 a 6. Pro jiné hodnoty n číslo m se ukáže jako zlomkové. Zejména je nemožné zaplnit rovinu pravidelnými pětiúhelníky.
Rozšiřme způsoby konstrukce parket z pravidelných mnohoúhelníků tím, že umožníme použití pravidelných mnohoúhelníků s různým počtem stran.
Označme a 1 , je 2 , . úhly pravidelných mnohoúhelníků, které mají společný vrchol. Seřaďme je vzestupně. Vzhledem k tomu, že součet všech takových úhlů musí být roven 360°, sestavíme tabulku obsahující možné sady úhlů a uvedeme odpovídající parkety.
| a 1 | a 2 | a 3 | a 4 | a 5 | a 6 | a 1 + a 2 +…=360° |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | Parkety ze 3 (obr. 2) |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 120 ° | Parkety ze 3 a 6 kusů (obr. 4) | |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 90 ° | 90 ° | Dvě parkety z 3-palců a 4-in (obr. 5, 6) | |
| 60 ° | 60 ° | 90 ° | 150 ° | Žádné parkety | ||
| 60 ° | 60 ° | 120 ° | 120 ° | Parkety z 3 palců a 6 palců (obr. 7) | ||
| 60 ° | 90 ° | 90 ° | 120 ° | Parkety z 3 palců, 4 palců a 6 palců (obr. 8) | ||
| 60 ° | 150 ° | 150 ° | Parkety z 3 palců a 12 palců (obr. 9) | |||
| 90 ° | 90 ° | 90 ° | 90 ° | Parkety ze čtverců (obr. 1) | ||
| 90 ° | 120 ° | 150 ° | Parkety z 4 palců, 6 palců a 12 palců (obr. 10) | |||
| 90 ° | 135 ° | 135 ° | Parkety z 4 palců a 8 palců (obr. 11) | |||
| 120 ° | 120 ° | 120 ° | Parkety ze 6 (obr. 3) |
Celkem tedy existuje 11 druhů běžných parketových podlah.
Podívejme se nyní na otázku vyplnění roviny nepravidelnými stejnými polygony.
Teorém. Pro jakýkoli čtyřúhelník existuje parketa sestávající ze čtyřúhelníků rovných původnímu. Jinými slovy, celou rovinu můžete vyplnit čtyřúhelníkem libovolného tvaru.
Důkaz. Nechť je dán čtyřúhelník ABC D (obr. 12). Uvažujme čtyřúhelník centrálně symetrický vzhledem ke středu strany AB. Původní čtyřúhelník ABCD bude označeno číslem 1 a symetrické číslem 2. Nyní se čtyřúhelník 2 bude odrážet symetricky vzhledem ke středu jeho strany Ne. Výsledný čtyřúhelník označíme číslem 3 a odrážíme jej symetricky ke středu jeho strany CD . Výsledný čtyřúhelník označíme číslem 4. Čtyřúhelníky 1, 2, 3 a 4 svými úhly sousedí se společným vrcholem A, B, C и D . A protože součet úhlů čtyřúhelníku je 360°, vyplní tyto čtyřúhelníky část roviny kolem společného vrcholu. Stejnou konstrukci lze provést kolem každého nového vrcholu, což poskytne požadované vyplnění roviny. Všimněte si, že čtyřúhelníky natřené stejnou barvou (obr. 12) se získávají navzájem paralelním přenosem.
Vyplnění roviny lze provést nejen polygony, ale také postavami složitějšího typu. Opakující se stejné postavy jsou základem pro skládání ornamentů, které přitahovaly pozornost lidí již od starověku. Slavný holandský umělec Marius Escher (1898-1972) věnoval několik svých obrazů ornamentům. Mezi nimi: „Jezdci“ (obr. 13), „Flying Birds“ (obr. 14); „Ještěrky“ (obr. 15).
Literatura
1. Kokster G.S.M. Úvod do geometrie. – M.-Nauka, 1966, s. 100.
2. Vasiliev N.B. a další matematické soutěže. Geometrie. – M.: Nauka, 1974, s. 15 / Knihovna fyzikálně-matematické školy, číslo 4.
3. Domoryad A.P. Matematické hry a zábava. – M.; 1961.
5. Záslavský A. Parkety a přířezy // Quantum. – 1999. – č. 2. – S.32.
6. Smirnova I.M. Ve světě mnohostěnů. – M.: Vzdělávání, 1995.
7. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Parkety a jejich ilustrace v grafickém editoru „Paint“ // Matematika ve škole. – 2000. – č. 8. – S.54.
8. Časopis //Quantum. 1979. – č. 2. – S.9; 1980. – č. 2. – S.25; 1986. – č. 8. – S.3; 1987. – č. 6. – S.27; 1987. – č. 11. – S.21; 1989. – č. 11. – S.57.
9. Časopis //Matematika ve škole. 1967. – č. 3. – S.75; 1986. č. 1. – S.59;